第 4 章 正态分布的应用

教育统计中，若得到的等级资料属于正态分布，可以将其数量化以便于比较。R语言中pnorm,qnorm函数可用于正态分布的计算。

判断资料否满足正态分布，可以简单的计算峰度和偏度值来判断，R语言中可使用moments包计算偏度skewness和峰度kurtosis；也可采用Shapiro–Wilk(S-W)检验shapiro.test或Kolmogorov-Smirnov(K-S)检验ks.test来判断。

4.1 化等级评定为测量数据

有3位教师对100名学生作等级评定，下表是教师评定结果统计以及其中3位学生获得的评定等级，将其转化为Z分数。

options(digits = 2)
# 模拟等级数据
data <- data.frame(
  student = paste0("Student",1:100),
  T1 = c(rep("A",5),rep("B",25),rep("C",40),rep("D",25),rep("E",5)),
  T2 = c(rep("A",10),rep("B",20),rep("C",40),rep("D",20),rep("E",10)),
  T3 = c(rep("A",20),rep("B",25),rep("C",35),rep("D",15),rep("E",5))
)
rating <- data.frame( T1 = c("B","A","D"),
               T2 = c("A","B","C"),
               T3 = c("A","A","C")
                    )

student_all <- paste0("Student",1:3)
rownames(rating) <- student_all
teacher_all <- colnames(rating)


head(data)
   student T1 T2 T3
1 Student1  A  A  A
2 Student2  A  A  A
3 Student3  A  A  A
4 Student4  A  A  A
5 Student5  A  A  A
6 Student6  B  A  A
rating
         T1 T2 T3
Student1  B  A  A
Student2  A  B  A
Student3  D  C  C

从表中可以看到，表面上学生1和学生2的等级相同，都是两个A，1个B，学生3最差。但注意到三位教师中T1只给出5个A等，评定较严，T3给出20个A等，评定较宽。所以学生虽然获得的等级相同，但其价值并不一样，必须将评定等级转化为测量数据。

一般情况下学生等级可以直接转换为标准分数Z比较，步骤如下： 1. 统计每位评价者打出的不同等级的比率； 2. 求各等级比率的中间值作为该等级的中点，计算中点以上（或以下）的累加比率； 3. 用累加比率求对应的标准正态分布Z值； 4. 求被评价者Z值算术平均值。

# 统计各评价者等级比率
data_frq <- sapply(data[,-1], table)
data_prop <- prop.table(data_frq ,2)

# 计算累加比率
cum_p <- apply(data_prop,2,function(x){
      p <- c()
      for (i in 1:length(x)) {
        p <- c(p,x[i]/2+sum(x[-1:-i]))
      }
      return(p)}
  )

# 用累加比率求对应的标准正态分布Z值
ratingsorce <- qnorm(cum_p)

zsorce <- matrix(nrow = nrow(rating ),ncol = ncol(rating),dimnames = list(student_all,teacher_all ))

for ( t in teacher_all) {
  for (s in student_all) {
    zsorce[s,t] <- ratingsorce[rating[s,t],t]
  }
}

# 被评价者Z值算术平均值
result <- apply(zsorce , 1, mean)
result
## Student1 Student2 Student3 
##     1.29     1.36    -0.42

学生1和学生2评定等级相同，但二者Z分数不同。

4.2 确定测验题目难易度

测验题目的难易度一般用答题者通过率来确定，但百分数不等距，不能直接用来比较题目间的难度大小，需要将通过率转换成难度分数，以便于比较题目难易差异。 

pass <- c(0.99,0.95,0.85,0.80,0.70,0.50,0.20,0.05,0.01)

# 通过率小于50%的Z值计为正值，通过率大于50%的Z值计为正值
zsorce <- qnorm(pass)
zsorce[pass < 0.5] <- abs(zsorce[pass < 0.5])
zsorce[pass > 0.5] <- -abs(zsorce[pass > 0.5])
zsorce <- zsorce + 5
zsorce
## [1] 2.7 3.4 4.0 4.2 4.5 5.0 5.8 6.6 7.3